Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{2} t$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d t$ , donc $2 d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{2} t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{2} t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Étape 4

Comme la dérivée de $- \cot (u)$ est $\csc^{2} (u)$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u)$ est $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Étape 5

Évaluez $- \cot (u)$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{6})$ est $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Étape 7.2

Multipliez $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Étape 8.2

Pour écrire $2 \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 8.3

Associez $2 \sqrt{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.5.2

Additionnez $- 2 \sqrt{3}$ et $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$2.30940107 \dots$