Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ et $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 6 x + 6$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 3 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 3$ à partir de $6 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2}) - 3 (- 2 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 \cdot 1 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 (1)$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 {(x - 1)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \cdot 1 + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 + 6$

Étape 9.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 6 (0) - 3$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 6 (0) - 3$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 3$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 3$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Étape 10.2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f' (0) = - 3$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $- 3 x^{2} + 6 x - 3$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - 3 {(4)}^{2} + 6 (4) - 3$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - 3 \cdot 16 + 6 (4) - 3$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$f' (4) = - 48 + 6 (4) - 3$

Étape 10.3.2.1.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (4) = - 48 + 24 - 3$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.3.2.2.1

Additionnez $- 48$ et $24$ .

$f' (4) = - 24 - 3$

Étape 10.3.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 24$ .

$f' (4) = - 27$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 27$ .

$- 27$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11