Calcul infinitésimal Exemples

$6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Étape 1

Écrivez $6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 7

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 9.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{4}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Étape 13

Simplifiez

$3 e^{u_{1}} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$