Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{- 7}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 7$ .

$8 (- 7 x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 7$ par $8$ .

$- 56 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 3.4.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 3.4.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 3.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 3.4.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 4})$

Étape 3.4.8

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.5.3

Associez des termes.

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Étape 3.5.3.1

Associez $- 56$ et $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 3.5.3.3

Associez $15$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}}$

Étape 3.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$