Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = x + y + x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Étape 2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Étape 3.4.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + y + 1 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $x$ par chaque élément de la matrice.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.2.1

Déplacez $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Étape 5.2.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $x y' + y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Étape 5.4.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ par $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.5.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Étape 5.5.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Étape 5.5.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Étape 5.5.3.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$