Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} x d x$

Étape 1

Associez $\frac{1}{b - a}$ et $x$ .

$\int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{b - a}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{b - a}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{b - a} \frac{1}{2} x^{2}]_{a}^{b}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{b - a} \frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{1}{b - a}$ et $\frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}}{b - a}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $b$ et sur $a$ .

$\frac{(\frac{b^{2}}{2}) - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$

Étape 4.2.2.2

Associez.

$\frac{2 (\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{b^{2}}{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{b^{2}}{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b^{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{b^{2} - 2 \frac{a^{2}}{2}}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{a^{2}}{2}$ .

$\frac{b^{2} + \frac{- 2 a^{2}}{2}}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2}}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2 (1)}}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{b^{2} + \frac{- a^{2}}{1}}{2 (b - a)}$

Étape 4.2.2.7.2.4

Divisez $- a^{2}$ par $1$ .

$\frac{b^{2} - a^{2}}{2 (b - a)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b$ et $b = a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{2 (b - a)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $b - a$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(b + a) (b - a)}{2 (b - a)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b + a}{2}$