Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 4

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Étape 4.2

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Étape 4.3

Factorisez $\sqrt{x}$ à partir de $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Étape 5.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Étape 5.2.3

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.3

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.6.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Étape 5.2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Étape 6

Développez $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $x^{- \frac{3}{2}}$ et $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6.7

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 6.8

Multipliez $x^{- \frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 11.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$