Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \ln ({(x)}^{2}) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x^{2})$ et $d v = x^{3}$ .

$\ln (x^{2}) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\ln (x^{2}) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x^{2})$ et $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{2}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4} \cdot 2}{x} d x)$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 \cdot x^{4}}{x} d x)$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x} d x)$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} d x)$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 x^{3}}{1} d x)$

Étape 4.3.2.5

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (2 \int x^{3} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) \int x^{3} d x$

Étape 6.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 2}{4} \int x^{3} d x$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 (- 1)}{4} \int x^{3} d x$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2} \int x^{3} d x$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} \int x^{3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $\frac{x^{4}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{4 \cdot 2} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{8} x^{4} + C$