Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (2 x - 1) (x + 2) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 2 x (x + 2) - 1 (x + 2) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.4

Déplacez $x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.9

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Étape 1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 2 d x$

Étape 1.11

Soustrayez $1 x$ de $4 x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 3 x - 2 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Étape 10.3

Évaluez $- 2 x$ sur $1$ et sur $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 10.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{3} - 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.5

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.6

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} + 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.11

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.12

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.13

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.14

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.4.15.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.15.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.15.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.15.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.17.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.17.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 + 9}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.17.3

Additionnez $4$ et $9$ .

$\frac{13}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.18

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 2 \cdot 0$

Étape 10.4.19

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 0$

Étape 10.4.20

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{13}{6} - 2$

Étape 10.4.21

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 10.4.22

Associez $- 2$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Étape 10.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{13 - 2 \cdot 6}{6}$

Étape 10.4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.24.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{13 - 12}{6}$

Étape 10.4.24.2

Soustrayez $12$ de $13$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$

Étape 12