Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} - 3) e^{- x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 3$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$(x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 (x^{2} - 3)$ comme $- (x^{2} - 3)$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} e^{- x} - - 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$