Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 5 x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 12.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{3} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{\frac{8 - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{8 - 10 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.4

Soustrayez $10$ de $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.5

Additionnez $- 2$ et $7$ .

$\sqrt{\frac{5}{2^{2} + 5}}$

Étape 12.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4 + 5}}$

Étape 12.7

Additionnez $4$ et $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{9}}$

Étape 12.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Étape 12.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.9.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 12.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Forme décimale :

$0.74535599 \dots$