Calcul infinitésimal Exemples

$4 x \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $4 x \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x \ln (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 x \ln (x) d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x \ln (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 6.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Étape 9.2

Réécrivez $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ comme $4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 x \ln (x)$ .

$F (x) =$ $4 (\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{1}{4} x^{2}) + C$