Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Étape 10.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$