Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{1}{3}$

Étape 3

Comme $| r | < 1$ , la série converge.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.2.3

Associez.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Étape 4.2.4

Multipliez $1$ par $1^{0}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $1$ par $1^{0}$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Élevez $1$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Étape 4.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Étape 4.2.5

Simplifiez $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Étape 4.2.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 6.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.75$