Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \sqrt{3 + 4 x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{1}$

Étape 1.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{1}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 1.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{3 \cdot 0 + 4}}{1}$

Étape 3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.1

Divisez $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$ par $1$ .

$\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\sqrt{0 + 4}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$\sqrt{4}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$