Calcul infinitésimal Exemples

$4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

Étape 1

Écrivez $4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ comme une fonction.

$f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int e^{- 2 x} d x + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = - 2 x$ . Alors $d u_{1} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 7.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 11.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 11.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 11.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 11.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x - 1)}^{3} d x$

Étape 13

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 13.1

Laissez $u_{2} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 13.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 13.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 13.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 13.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- 2 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 15

Simplifiez

$- 2 e^{u_{1}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 2 x$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 e^{- 2 x} + {(x - 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- 2 e^{- 2 x} + \frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + C$