Calcul infinitésimal Exemples

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 x^{2} - 3$ et $g (x) = 7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{3} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 1.2.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.2.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.2.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.2.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

Étape 1.2.11.2

Déplacez $10$ à gauche de $7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6

Associez des termes.

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Étape 1.3.6.1

Multipliez $21$ par $5$ .

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.6.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $21$ par $- 3$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.6

Additionnez $- 63 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.7

Multipliez $7$ par $10$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.10

Additionnez $1$ et $3$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

Étape 1.3.6.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

Étape 1.3.6.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

Étape 1.3.6.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Étape 1.3.6.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

Étape 1.3.6.15

Additionnez $105 x^{4}$ et $70 x^{4}$ .

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

Étape 1.3.6.16

Additionnez $- 58 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $175$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $175 x^{4}$ par rapport à $x$ est $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $175$ .

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$700 x^{3} - 96 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $700 x^{3} - 96 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$