Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Étape 1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x + 9$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 x + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 10$ et $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Étape 2.5.2

Additionnez $18$ et $9$ .

$u_{upper} = 27$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $u^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ sur $27$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.6

Multipliez $3$ par $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.7

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Étape 7.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 7.2.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 7.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Étape 7.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Étape 7.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Étape 7.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Étape 7.2.13

Soustrayez $3$ de $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Étape 7.2.14

Annulez le facteur commun à $240$ et $4$ .

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Étape 7.2.14.1

Factorisez $4$ à partir de $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Étape 7.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.14.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Étape 7.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Étape 7.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Étape 7.2.14.2.4

Divisez $60$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Étape 7.2.15

Associez $\frac{1}{3}$ et $60$ .

$\frac{60}{3}$

Étape 7.2.16

Annulez le facteur commun à $60$ et $3$ .

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Étape 7.2.16.1

Factorisez $3$ à partir de $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Étape 7.2.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Étape 7.2.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Étape 7.2.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{1}$

Étape 7.2.16.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$20$

Étape 8