Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = arcsec (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $arcsec (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Étape 3

Associez $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Étape 4.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Étape 4.6

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Étape 4.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Étape 4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.8.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Étape 4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Étape 4.8.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Étape 4.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Étape 4.10

Séparez les fractions.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 4.11

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Étape 4.12

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Étape 4.13

Multipliez.

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Étape 4.13.1

Associez.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Étape 4.13.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Étape 4.13.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.13.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Étape 4.13.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Étape 4.13.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Étape 4.13.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Étape 4.13.3.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Étape 4.14

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Étape 4.15

Réécrivez $- 1 \cdot i$ comme $- i$ .

$- i \csc (x)$