Calcul infinitésimal Exemples

$y = 12 \sin (w t + π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $12$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $12 \sin (w t + π)$ par rapport à $w$ est $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = \sin (w)$ et $g (w) = w t + π$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w t + π$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Étape 1.3.2

Comme $t$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $w t$ par rapport à $w$ est $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Étape 1.3.4

Multipliez $t$ par $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Étape 1.3.5

Comme $π$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $π$ par rapport à $w$ est $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $t$ et $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Étape 1.3.6.2

Réorganisez les facteurs de $12 \cos (w t + π) t$ .

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $12 t$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $12 t \cos (w t + π)$ par rapport à $w$ est $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = \cos (w)$ et $g (w) = w t + π$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w t + π$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 2.3.3

Comme $t$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $w t$ par rapport à $w$ est $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 2.3.5

Multipliez $t$ par $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 2.3.6

Comme $π$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $π$ par rapport à $w$ est $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Étape 2.3.7

Additionnez $t$ et $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Étape 2.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Étape 2.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 12 t^{2}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ par rapport à $w$ est $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = \sin (w)$ et $g (w) = w t + π$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w t + π$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 3.3.2

Comme $t$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $w t$ par rapport à $w$ est $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 3.3.4

Multipliez $t$ par $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Étape 3.3.5

Comme $π$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $π$ par rapport à $w$ est $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Étape 3.3.6

Additionnez $t$ et $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Étape 3.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$