Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2022$ de $\cos^{2022} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2022} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1^{2022}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2022} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos^{2022} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2022} (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2022} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2022} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2022}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2022}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2022$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 u^{2021} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2022 \cos^{2021} (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $- 1$ par $2022$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $- 2022$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 1.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2022 \cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2

Placez le terme $2022$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{lim_{x \to 0} \cos^{2021} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez l’exposant $2021$ de $\cos^{2021} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2022 \frac{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2021} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2022 \frac{\cos^{2021} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{\cos^{2021} (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.6.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2022 \frac{1^{2021} \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2022 \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.6.3

Multipliez $\sin (0)$ par $1$ .

$2022 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.6.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2022 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2022 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Étape 3.1.3.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$2022 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Étape 3.1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2022 \frac{0}{0 + 0}$

Étape 3.1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$2022 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2022 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2022 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2022 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2021} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\cos^{2021} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $\cos^{2021} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.4.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2021} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{2021 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.4.2

Additionnez $2021$ et $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2021} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2021}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [u^{2021}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2021$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 u^{2020} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + \sin (x) \cdot 2021 \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.6

Déplacez $2021$ à gauche de $\sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \cdot \sin (x) \cos^{2020} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) + 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $2021$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin (x) \cos^{2020} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2022} (x) - 2021 \sin^{2} (x) \cos^{2020} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.15

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Étape 3.3.15.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.15.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.15.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.15.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.16

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Étape 3.3.17

Simplifiez

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Étape 3.3.17.1

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.3.17.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2022 lim_{x \to 0} \frac{- 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{lim_{x \to 0} - 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{- lim_{x \to 0} 2021 \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.3

Placez le terme $2021$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{- 2021 lim_{x \to 0} \cos^{2020} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.5

Déplacez l’exposant $2020$ de $\cos^{2020} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2022 \frac{- 2021 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2020} \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.7

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{2022} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.9

Déplacez l’exposant $2022$ de $\cos^{2022} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2022}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 4.12

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 4.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 4.14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 4.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2022 \frac{- 2021 \cos^{2020} (0) \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1^{2020} \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2022 \frac{- 2021 \cdot 1 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 2021$ par $1$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot \sin^{2} (0) + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0^{2} + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2022 \frac{- 2021 \cdot 0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 2021$ par $0$ .

$2022 \frac{0 + \cos^{2022} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2022 \frac{0 + 1^{2022}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2022 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$2022 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2022 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Étape 6.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2022 \frac{1}{0 + 2}$

Étape 6.2.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$2022 (\frac{1}{2})$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2022$ .

$2 (1011) \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 1011 \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$1011$