Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\sqrt{x - 9})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 9}$ comme ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + {(x - 9)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{1}{1 + x - 9} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Soustrayez $9$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 9$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 9$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 11.3

Placez ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 8} (\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Étape 11.4

Multipliez $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x - 8}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 14

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} (1 + 0)$

Étape 15

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)} \cdot 1$

Étape 15.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}} (x - 8)}$