Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to \infty} \frac{{(n - 1)}^{2} - {(n + 2)}^{2}}{3 - n}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{n \to \infty} {(n - 1)}^{2} - {(n + 2)}^{2}}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1.1

Réécrivez ${(n - 1)}^{2}$ comme $(n - 1) (n - 1)$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} (n - 1) (n - 1) - {(n + 2)}^{2}}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez ${(n + 2)}^{2}$ comme $(n + 2) (n + 2)$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} (n - 1) (n - 1) - ((n + 2) (n + 2))}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n (n - 1) - 1 (n - 1) - ((n + 2) (n + 2))}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1) - ((n + 2) (n + 2))}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - ((n + 2) (n + 2))}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n (n + 2) + 2 (n + 2))}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n \cdot n + n \cdot 2 + 2 (n + 2))}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n \cdot n + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2)}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n \cdot n + n \cdot 2) - (2 n + 2 \cdot 2)}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n \cdot n) - (n \cdot 2) - (2 n + 2 \cdot 2)}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n \cdot n) - (n \cdot 2) - (2 n) - (2 \cdot 2)}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 1.1.2.11.1

Remettez dans l’ordre $n$ et $- 1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1 - (n \cdot n) - (n \cdot 2) - (2 n) - (2 \cdot 2)}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.11.2

Remettez dans l’ordre $n$ et $2$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n \cdot n - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1 - n \cdot n - (2 \cdot n) - (2 n) - (2 \cdot 2)}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.12

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{1} n - 1 n - 1 n - 1 \cdot - 1 - n \cdot n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.13

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{1} n^{1} - 1 n - 1 n - 1 \cdot - 1 - n \cdot n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{1 + 1} - 1 n - 1 n - 1 \cdot - 1 - n \cdot n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.15.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 1 n - 1 n - 1 \cdot - 1 - n \cdot n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.15.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 1 n - 1 n + 1 - n \cdot n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.16

Soustrayez $1 n$ de $- 1 n$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n \cdot n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.17

Factorisez le signe négatif.

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - (n \cdot n) - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.18

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - (n^{1} n) - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.19

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - (n^{1} n^{1}) - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{1 + 1} - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.2.21.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.2

Multipliez.

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Étape 1.1.2.21.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} - 2 n - 1 \cdot 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} - 2 n - 2 n - 1 \cdot 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} - 2 n - 2 n - 2 \cdot 2}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} - 2 n - 2 n - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.3

Soustrayez $2 n$ de $- 2 n$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n + 1 - n^{2} - 4 n - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.21.4.1

Déplacez $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - 2 n - n^{2} - 4 n + 1 - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.4.2

Déplacez $- 2 n$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} n^{2} - n^{2} - 2 n - 4 n + 1 - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.5

Soustrayez $n^{2}$ de $n^{2}$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} 0 - 2 n - 4 n + 1 - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.6

Soustrayez $2 n$ de $0$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} - 2 n - 4 n + 1 - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.7

Soustrayez $4 n$ de $- 2 n$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} - 6 n + 1 - 4}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.21.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} - 6 n - 3}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.2.22

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{n \to \infty} 3 - n}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Remettez dans l’ordre $3$ et $- n$ .

$\frac{- \infty}{lim_{n \to \infty} - n + 3}$

Étape 1.1.3.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{- \infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{n \to \infty} \frac{{(n - 1)}^{2} - {(n + 2)}^{2}}{3 - n} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [{(n - 1)}^{2} - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [{(n - 1)}^{2} - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(n - 1)}^{2}$ comme $(n - 1) (n - 1)$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [(n - 1) (n - 1) - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.3

Développez $(n - 1) (n - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n (n - 1) - 1 (n - 1) - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1) - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.4.1.3

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.4.1.4

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - n - n + 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.4.2

Soustrayez $n$ de $- n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - {(n + 2)}^{2}]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.5

Réécrivez ${(n + 2)}^{2}$ comme $(n + 2) (n + 2)$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - ((n + 2) (n + 2))]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.6

Développez $(n + 2) (n + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n (n + 2) + 2 (n + 2))]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n \cdot n + n \cdot 2 + 2 (n + 2))]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n \cdot n + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n^{2} + n \cdot 2 + 2 n + 2 \cdot 2)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.7.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n^{2} + 2 \cdot n + 2 n + 2 \cdot 2)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n^{2} + 2 n + 2 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $2 n$ et $2 n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2} - 2 n + 1 - (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $n^{2} - 2 n + 1 - (n^{2} + 4 n + 4)$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [n^{2}] + \frac{d}{d n} [- 2 n] + \frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n^{2}] + \frac{d}{d n} [- 2 n] + \frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n + \frac{d}{d n} [- 2 n] + \frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d n} [- 2 n]$ .

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Étape 1.3.10.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- 2 n$ par rapport à $n$ est $- 2 \frac{d}{d n} [n]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.10.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + \frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $1$ par rapport à $n$ est $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 + \frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12

Évaluez $\frac{d}{d n} [- (n^{2} + 4 n + 4)]$ .

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Étape 1.3.12.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- (n^{2} + 4 n + 4)$ par rapport à $n$ est $- \frac{d}{d n} [n^{2} + 4 n + 4]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - \frac{d}{d n} [n^{2} + 4 n + 4]}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $n^{2} + 4 n + 4$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [n^{2}] + \frac{d}{d n} [4 n] + \frac{d}{d n} [4]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (\frac{d}{d n} [n^{2}] + \frac{d}{d n} [4 n] + \frac{d}{d n} [4])}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n + \frac{d}{d n} [4 n] + \frac{d}{d n} [4])}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.4

Comme $4$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $4 n$ par rapport à $n$ est $4 \frac{d}{d n} [n]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n + 4 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [4])}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [4])}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.6

Comme $4$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $4$ par rapport à $n$ est $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n + 4 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n + 4 + 0)}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.12.8

Additionnez $2 n + 4$ et $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n + 4)}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13

Simplifiez

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Étape 1.3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 + 0 - (2 n) - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.13.2.1

Additionnez $2 n - 2$ et $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 - (2 n) - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 - 2 n - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n - 2 - 2 n - 4}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13.2.4

Soustrayez $2 n$ de $2 n$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{0 - 2 - 4}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13.2.5

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 2 - 4}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.13.2.6

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{\frac{d}{d n} [3 - n]}$

Étape 1.3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - n$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [3] + \frac{d}{d n} [- n]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{\frac{d}{d n} [3] + \frac{d}{d n} [- n]}$

Étape 1.3.15

Comme $3$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $3$ par rapport à $n$ est $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{0 + \frac{d}{d n} [- n]}$

Étape 1.3.16

Évaluez $\frac{d}{d n} [- n]$ .

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Étape 1.3.16.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- n$ par rapport à $n$ est $- \frac{d}{d n} [n]$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{0 - \frac{d}{d n} [n]}$

Étape 1.3.16.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.16.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{0 - 1}$

Étape 1.3.17

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{- 6}{- 1}$

Étape 1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 6}{- 1}$ .

$lim_{n \to \infty} - 1 \cdot - 6$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $- 1 \cdot - 6$ qui est constante lorsque $n$ approche de $\infty$ .

$- 1 \cdot - 6$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$6$