Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 4}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 4}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{- 4}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{- 4}^{4})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 4}^{4})$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $- 4$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $2$ par $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{16}{3}) + 3 (- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{16}{3}) + 3 (- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 + 3 (- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ dans le numérateur.

$16 + 3 \frac{- 2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$16 + 3 \frac{- 2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$16 - 2 {(- 4)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 6