Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} π \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to π} x + π lim_{x \to π} \sec (x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{lim_{x \to π} x + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{π + π \sec (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{π + π \sec (π)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{π + π (- \sec (0))}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{π + π (- 1 \cdot 1)}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{π + π \cdot - 1}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.5.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\frac{π - 1 \cdot π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$\frac{π - π}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $π^{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Étape 1.3.3

Soustrayez $π^{2}$ de $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to π} \frac{x + π \sec (x)}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x + π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + π \sec (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + \frac{d}{d x} [π \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [π \sec (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π \sec (x)$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to π} \frac{1 + π (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.4.3

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to π} \frac{1 + π \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - π^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Étape 3.8

Comme $- π^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to π} \frac{π \sec (x) \tan (x) + 1}{x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to π} π \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 7

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π lim_{x \to π} \sec (x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot lim_{x \to π} \tan (x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + lim_{x \to π} 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (lim_{x \to π} x) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $π$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (lim_{x \to π} x) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{lim_{x \to π} x}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $π$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sec (π) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- \sec (0)) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Étape 13.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π (- 1 \cdot 1) \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \cdot - 1 \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Étape 13.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Étape 13.1.5

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot \tan (π) + 1}{π}$

Étape 13.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- \tan (0)) + 1}{π}$

Étape 13.1.7

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot (- 0) + 1}{π}$

Étape 13.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- π \cdot 0 + 1}{π}$

Étape 13.1.9

Multipliez $- π \cdot 0$ .

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Étape 13.1.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 π + 1}{π}$

Étape 13.1.9.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 1}{π}$

Étape 13.1.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 13.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2 π}$