Calcul infinitésimal Exemples

$x' = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d x}{d t} = 3 x t^{2} - 3 t^{2}$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Factorisez $3 t^{2}$ à partir de $3 x t^{2} - 3 t^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3 t^{2}$ à partir de $3 x t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) - 3 t^{2}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3 t^{2}$ à partir de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$

Étape 2.1.3

Factorisez $3 t^{2}$ à partir de $3 t^{2} (x) + 3 t^{2} (- 1)$ .

$\frac{d x}{d t} = 3 t^{2} (x - 1)$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x - 1} (3 t^{2} (x - 1))$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 \frac{1}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Étape 2.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} (t^{2} (x - 1))$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $t^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = \frac{3}{x - 1} ((x - 1) t^{2})$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1} \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x - 1} d x = 3 t^{2} d t$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x - 1} d x = \int 3 t^{2} d t$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.2.1.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 3.2.1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 3 t^{2} d t$

Étape 3.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \int 3 t^{2} d t$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 \int t^{2} d t$

Étape 3.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ comme $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = \frac{3}{3} t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = 1 t^{3} + C_{2}$

Étape 3.3.3.2.3

Multipliez $t^{3}$ par $1$ .

$\ln (| x - 1 |) + C_{1} = t^{3} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| x - 1 |)} = e^{t^{3} + C}$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (| x - 1 |) = t^{3} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{t^{3} + C} = | x - 1 |$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$ .

$| x - 1 | = e^{t^{3} + C}$

Étape 4.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm e^{t^{3} + C}$

Étape 4.3.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \pm e^{t^{3} + C} + 1$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Réécrivez $e^{t^{3} + C}$ comme $e^{t^{3}} e^{C}$ .

$x = \pm e^{t^{3}} e^{C} + 1$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $e^{t^{3}}$ et $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{t^{3}} + 1$

Étape 5.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$x = C e^{t^{3}} + 1$