Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{0 + 4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + 0}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x + 4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.13

Multipliez $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.3.14

Placez ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}} \cdot \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}$ par $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} (2 x + 1)}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot lim_{x \to 0} 2 x + 1}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}$

Étape 2.9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} x + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 lim_{x \to 0} x + 1)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot (2 \cdot 0 + 1)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} (0 + 1)}$

Étape 4.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{0 + 4} \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4} \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}} \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$