Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Étape 2

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 2.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x + 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Étape 2.1.1.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Étape 2.1.1.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (1) + 4 x (x)$ .

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Étape 2.1.1.2

Réduisez l’expression $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Étape 2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Étape 2.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Étape 2.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Étape 2.1.6.2

Divisez $(A) \cdot (4)$ par $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Étape 2.1.7

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$1 = 4 A$

Étape 2.2

Résolvez le système d’équations.

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

Étape 2.2.2

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 A = 1$ par $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.2.2.2.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Étape 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$