Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $4$ de ${(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.1.1.2

Divisez $3$ par $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{- 3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

${(\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 6.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}})}^{4}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

${(\frac{3 + 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Étape 10.1.2

Additionnez $3 + 0$ et $0$ .

${(\frac{3 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Étape 10.1.3

Additionnez $3$ et $0$ .

${(\frac{3}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0 + 0})}^{4}$

Étape 10.2.3

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0})}^{4}$

Étape 10.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

${(\frac{3}{1})}^{4}$

Étape 10.3

Divisez $3$ par $1$ .

$3^{4}$

Étape 10.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81$