Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$ comme ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 7.3

Placez ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Étape 8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + 0)$

Étape 13

Additionnez $3 x^{2} + 2 x + 1$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Multipliez $3 x^{2} + 2 x + 1$ par $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$