Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 12} \frac{8 x^{3} - 16 x^{2} - 64 x}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 12$ .

$\frac{lim_{x \to - 12} 8 x^{3} - 16 x^{2} - 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 12$ .

$\frac{lim_{x \to - 12} 8 x^{3} - lim_{x \to - 12} 16 x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 12} x^{3} - lim_{x \to - 12} 16 x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - lim_{x \to - 12} 16 x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 5

Placez le terme $16$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 lim_{x \to - 12} x^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - lim_{x \to - 12} 64 x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 7

Placez le terme $64$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + 2 x}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 12$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{lim_{x \to - 12} x^{2} + lim_{x \to - 12} 2 x}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + lim_{x \to - 12} 2 x}$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 12} x)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- 12$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 12$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(lim_{x \to - 12} x)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 12$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 lim_{x \to - 12} x}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 12$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(lim_{x \to - 12} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 12$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 lim_{x \to - 12} x}$

Étape 11.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 12$ pour $x$ .

$\frac{8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun à $8 {(- 12)}^{3} - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12$ et ${(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12$ .

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Étape 12.1.1

Factorisez $- 12$ à partir de $8 {(- 12)}^{3}$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2}) - 16 {(- 12)}^{2} - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Étape 12.1.2

Factorisez $- 12$ à partir de $- 16 {(- 12)}^{2}$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2}) - 12 (- 16 \cdot - 12) - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Étape 12.1.3

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 (8 {(- 12)}^{2}) - 12 (- 16 \cdot - 12)$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12) - 64 \cdot - 12}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Étape 12.1.4

Factorisez $- 12$ à partir de $- 64 \cdot - 12$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12) - 12 \cdot - 64}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Étape 12.1.5

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12) - 12 \cdot - 64$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{{(- 12)}^{2} + 2 \cdot - 12}$

Étape 12.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.6.1

Factorisez $- 12$ à partir de ${(- 12)}^{2}$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot - 12 + 2 \cdot - 12}$

Étape 12.1.6.2

Factorisez $- 12$ à partir de $2 \cdot - 12$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot - 12 - 12 \cdot 2}$

Étape 12.1.6.3

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12 \cdot - 12 - 12 \cdot 2$ .

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot (- 12 + 2)}$

Étape 12.1.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 12 (8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64)}{- 12 \cdot (- 12 + 2)}$

Étape 12.1.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64}{- 12 + 2}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun à $8 {(- 12)}^{2} - 16 \cdot - 12 - 64$ et $- 12 + 2$ .

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Étape 12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 {(- 12)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2}) - 16 \cdot - 12 - 64}{- 12 + 2}$

Étape 12.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 16 \cdot - 12$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2}) + 2 (- 8 \cdot - 12) - 64}{- 12 + 2}$

Étape 12.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 {(- 12)}^{2}) + 2 (- 8 \cdot - 12)$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12) - 64}{- 12 + 2}$

Étape 12.2.4

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12) + 2 \cdot - 32}{- 12 + 2}$

Étape 12.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12) + 2 (- 32)$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{- 12 + 2}$

Étape 12.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot - 6 + 2}$

Étape 12.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot - 6 + 2 (1)}$

Étape 12.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 6 + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot (- 6 + 1)}$

Étape 12.2.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32)}{2 \cdot (- 6 + 1)}$

Étape 12.2.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(- 12)}^{2} - 8 \cdot - 12 - 32}{- 6 + 1}$

Étape 12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.3.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 144 - 8 \cdot - 12 - 32}{- 6 + 1}$

Étape 12.3.2

Multipliez $4$ par $144$ .

$\frac{576 - 8 \cdot - 12 - 32}{- 6 + 1}$

Étape 12.3.3

Multipliez $- 8$ par $- 12$ .

$\frac{576 + 96 - 32}{- 6 + 1}$

Étape 12.3.4

Additionnez $576$ et $96$ .

$\frac{672 - 32}{- 6 + 1}$

Étape 12.3.5

Soustrayez $32$ de $672$ .

$\frac{640}{- 6 + 1}$

Étape 12.4

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$\frac{640}{- 5}$

Étape 12.5

Divisez $640$ par $- 5$ .

$- 128$