Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt{1 - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 4.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 5.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$