Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Étape 4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Étape 4.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Étape 4.3

Associez $d$ et $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Étape 4.4

Associez $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ et $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 4.5

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Étape 4.6

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Étape 4.6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Étape 4.6.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Étape 4.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Étape 4.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Étape 4.6.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 5

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Déplacez $2$ à gauche de $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$