Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 9.2

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 9.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 9.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Étape 11.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Étape 11.2

Simplifiez

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Étape 11.3

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 11.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$