Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$15 x^{4} + 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$60 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ et $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $60 x^{3}$ par rapport à $x$ est $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$180 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$180 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 36]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$180 x^{2} + 96 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $180 x^{2} + 96 x$ et $0$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} + 96 x$