Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 3

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Étape 6.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Étape 6.1.4

Réorganisez les termes.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$4 \int u_{2} d u_{2}$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 8.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 {u_{2}}^{2} + C$

Étape 9

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 9.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\arctan (u_{1})$ .

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Étape 9.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$