Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

Étape 4.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 4.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

Étape 4.2.6.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $2$ et $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$