Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{4 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $7$ de ${(2 - 3 x)}^{7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.6

Évaluez la limite de $128$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 \cdot 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 128}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $128$ de $128$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(2 - 3 x)}^{7} - 128$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 2 - 3 x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - 3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.7

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.8

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 128$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ et $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{1}$

Étape 2.4

Divisez $- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - 21 {(2 - 3 x)}^{6}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 21$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{6}$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $6$ de ${(2 - 3 x)}^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{6}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

Étape 3.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{6}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 21$ .

$\frac{- 21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

Étape 5.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{21}{4} {(2 + 0)}^{6}$

Étape 5.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{21}{4} \cdot 2^{6}$

Étape 5.5

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$- \frac{21}{4} \cdot 64$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{21}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{- 21}{4} \cdot 64$

Étape 5.6.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 (16))$

Étape 5.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 \cdot 16)$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression.

$- 21 \cdot 16$

Étape 5.7

Multipliez $- 21$ par $16$ .

$- 336$