Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - x) y' = y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Étape 2

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ par $1 - x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ par $1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 3.3.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 3.3.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 3.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 3.3.5

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 3.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Réécrivez l’équation comme $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ .

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Étape 4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $C y$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Étape 4.3.3

Réécrivez $- 1 \ln (| 1 - x |)$ comme $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Étape 4.3.4

Divisez chaque terme dans $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ par $- \ln (| 1 - x |) + C$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ par $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Étape 4.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Étape 4.3.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Étape 4.3.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Étape 4.3.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Étape 4.3.4.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ comme $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Étape 4.3.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Étape 4.3.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Étape 4.3.4.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$