Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Étape 1

Écrivez $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4

Laissez $u = e^{x} + 1$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = e^{x} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x} + 1$ .

$\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 1 |) + C$