Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x^{- 2}}{1 + 3 x^{- 2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{1 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}$

Étape 6.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2}}$

Étape 7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{1 + 3 \cdot 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Étape 9.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5}{1}$

Étape 9.3

Divisez $5$ par $1$ .

$5$