Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \sqrt{2}} (2 x^{2} + 1) (7 x^{2} + 13)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$(lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(2 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Étape 7

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Étape 9

Évaluez la limite de $13$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $\sqrt{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\sqrt{2}$ pour $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\sqrt{2}$ pour $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 \cdot 2^{1} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$(2 \cdot 2 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$5 \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Étape 11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot (7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13)$

Étape 11.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13)$

Étape 11.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Étape 11.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Étape 11.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{1} + 13)$

Étape 11.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$5 \cdot (7 \cdot 2 + 13)$

Étape 11.3.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$5 \cdot (14 + 13)$

Étape 11.4

Additionnez $14$ et $13$ .

$5 \cdot 27$

Étape 11.5

Multipliez $5$ par $27$ .

$135$