Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Étape 5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Étape 7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 10.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 11

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 11.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 13

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Étape 14

Réécrivez $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ comme $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$