Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 t + 2$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t) + 2 (1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (t) + 2 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Étape 2

Multipliez $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ par $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}} \cdot \frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} d t]$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{2 (t + 1)}{\sqrt{t + 1}}$ par $\frac{\sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1} \sqrt{t + 1}} d t]$

Étape 3.1.2

Élevez $\sqrt{t + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} \sqrt{t + 1}} d t]$

Étape 3.1.3

Élevez $\sqrt{t + 1}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1} {\sqrt{t + 1}}^{1}} d t]$

Étape 3.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{1 + 1}} d t]$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{\sqrt{t + 1}}^{2}} d t]$

Étape 3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{t + 1}}^{2}$ comme $t + 1$ .

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Étape 3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 1}$ comme ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{({(t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Étape 3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Étape 3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Étape 3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Étape 3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{{(t + 1)}^{1}} d t]$

Étape 3.1.6.5

Simplifiez

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $t + 1$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 (t + 1) \sqrt{t + 1}}{t + 1} d t]$

Étape 3.2.2

Divisez $2 \sqrt{t + 1}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t]$

Étape 4

Prenez la dérivée de $\int_{1}^{x^{2} + 1} 2 \sqrt{t + 1} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1] (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(2 x + \frac{d}{d x} [1]) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x + 0) (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 1 + 1})$

Étape 5.4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x (2 \sqrt{x^{2} + 2})$

Étape 5.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x \sqrt{x^{2} + 2}$