Calcul infinitésimal Exemples

$x + \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt{x + 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

Étape 1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

Étape 1.2.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Étape 1.2.13

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.2.14

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Étape 2.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Étape 2.2.8

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Étape 2.2.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Étape 2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Étape 2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Étape 2.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

Étape 2.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Étape 2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Étape 2.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

Étape 2.2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

Étape 2.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

Étape 2.2.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Étape 2.2.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Étape 2.2.16

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.17

Placez ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.18

Associez $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.19

Placez ${(x + 1)}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

Étape 2.2.20

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.20.1

Déplacez $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Étape 2.2.20.2

Multipliez $x + 1$ par ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.20.2.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Étape 2.2.20.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.20.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.20.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Étape 2.2.20.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.2.21

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.2.22

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$