Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 1.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Étape 2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $0$ et sur $1$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 1 |})$

Étape 7

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 1 |})$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- \ln (\frac{0}{1})$

Étape 7.3

Divisez $0$ par $1$ .

$- \ln (0)$

Étape 7.4

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$- \ln (0)$

Étape 8

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini