Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + a x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + a x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + a = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = - a$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - a$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = - a$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} + a x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ comme $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- \frac{a}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{a}{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.6

Réécrivez $- \frac{a^{3}}{27}$ comme ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Factorisez la puissance parfaite $a^{2}$ dans $a^{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.6.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $27$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.6.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.6.5

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.1.8

Associez $\frac{a}{3}$ et $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.3.1

Associez $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

Étape 4.1.2.4.2

Additionnez $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ et $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ comme $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.4

Appliquez la règle de produit à $- \frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.8

Réécrivez $- \frac{a^{3}}{27}$ comme ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

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Étape 4.2.2.8.1

Factorisez la puissance parfaite $a^{2}$ dans $a^{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.8.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $27$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.8.3

Réorganisez la fraction $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.8.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.8.5

Ajoutez des parenthèses.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.10

Associez $\frac{a}{3}$ et $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 4.2.2.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Étape 5