Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Inversez l’exposant de $3^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $3^{- x}$ par $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Étape 4

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int 3^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $3^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Étape 7

Réécrivez $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ comme $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$