Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} ((x^{2} + 4) (2 x^{3} + 7 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 4$ et $g (x) = 2 x^{3} + 7 x$ .

$(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7 x] + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$(x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} + 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{2} + 4) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7 \cdot 1) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.7

Multipliez $7$ par $1$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x + 0)$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 x^{3} + 7 x) (2 x)$

Étape 2.11.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x^{3} + 7 x$ .

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 \cdot (2 x^{3} + 7 x) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + (2 (2 x^{3}) + 2 (7 x)) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2} + 7) + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 4) (6 x^{2}) + (x^{2} + 4) \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (6 x^{2}) + 4 (6 x^{2}) + (x^{2} + 4) \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (6 x^{2}) + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6

Associez des termes.

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Étape 3.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 2} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{4} \cdot 6 + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 4 (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.4

Déplacez $7$ à gauche de $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 7 \cdot x^{2} + 4 \cdot 7 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.5

Multipliez $4$ par $7$ .

$6 x^{4} + 24 x^{2} + 7 x^{2} + 28 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.6

Additionnez $24 x^{2}$ et $7 x^{2}$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 2 (2 x^{3}) x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{3} x + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 (x^{1} x^{3}) + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{1 + 3} + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.10

Additionnez $1$ et $3$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 2 (7 x) x$

Étape 3.6.11

Multipliez $7$ par $2$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x \cdot x$

Étape 3.6.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 (x^{1} x)$

Étape 3.6.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 (x^{1} x^{1})$

Étape 3.6.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

Étape 3.6.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 4 x^{4} + 14 x^{2}$

Étape 3.6.16

Additionnez $6 x^{4}$ et $4 x^{4}$ .

$10 x^{4} + 31 x^{2} + 28 + 14 x^{2}$

Étape 3.6.17

Additionnez $31 x^{2}$ et $14 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 45 x^{2} + 28$