Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{- 2} + 4 x^{- 1} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{- 1}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 6 x^{- 3} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{- 3} - 4 x^{- 2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x^{- 2} - 6 x^{- 3} + 1$

Étape 1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Étape 1.5.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Étape 1.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 x^{- 3} + 1$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{3}} + 1$

Étape 1.5.2.5

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{3}} + 1$

Étape 1.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{3}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$8 x^{- 3} - 6 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 x^{- 3} + 18 x^{- 4} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 x^{- 4} + 0$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.5.3.1

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + 18 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Étape 2.5.3.2

Associez $18$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}} + 0$

Étape 2.5.3.3

Additionnez $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{8}{x^{3}} + \frac{18}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$8 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$8 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$8 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.2.8

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$- 24 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x^{4}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{18}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 3.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 24 x^{- 4} + 18 (- 4 x^{- 5})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$- 24 x^{- 4} - 72 x^{- 5}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 x^{- 5}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 \frac{1}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $- 24$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{24}{x^{4}} - 72 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.3.3

Associez $- 72$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{24}{x^{4}} + \frac{- 72}{x^{5}}$

Étape 3.4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (x) = - \frac{24}{x^{4}} - \frac{72}{x^{5}}$